フーリエ変換と空間フィルタ処理（畳み込み・平滑化・エッジ検出）

医用画像情報学のなかで、出題数がいちばん多いのが画像処理です。フーリエ変換とフィルタ処理は、繰り返し問われます。

一見バラバラに見えますが、聞かれていることは実は少なく、フーリエ変換の性質と、フィルタの仕分け方の2つに集約されます。しかも仕分けは「係数の和が 1 か 0 か」を見るだけで、ほとんど片づきます。

前の記事「標本化と量子化」で出てきた「周波数成分に分解する」という考え方を、ここで正面から扱います。

フーリエ変換：実空間と周波数空間

フーリエ変換は、画像を「どの細かさの縞が、どれだけ入っているか」に分解する操作です。式は次のとおりです。

$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i2\pi ux}\,dx$$

$f(x)$ が実空間（位置）の関数、$F(u)$ が周波数空間の関数です。逆向き、つまり周波数空間から実空間に戻すのが逆フーリエ変換です。

離散フーリエ変換も同じで、周波数領域への変換です。「実空間領域への変換である」と書いてあれば誤りです。

式の中の $e^{-i2\pi ux}$ を核関数といいます。これはオイラーの公式

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

に $\theta=-2\pi ux$ を代入して、$\cos$ が偶関数、$\sin$ が奇関数であることを使うと、

$$e^{-i2\pi ux}=\cos(2\pi ux)-i\sin(2\pi ux)$$

と書けます。$\sin$ の項に必ず虚数単位 $i$ が付くこと、そして符号がマイナスであること（プラスなら逆変換の核関数）の2点が問われます。

覚えておきたい変換ペアは3つです。

• 矩形波（四角い窓）→ sinc 関数。いちばん大事なペアで、CTの再構成でも MTF でも出てきます。窓の幅が狭いほど sinc は広がります
• デルタ関数（一点だけの信号）→ すべての周波数が等しく含まれる定数。「一瞬の信号にはあらゆる周波数が入っている」と考えると腑に落ちます
• 余弦関数 → 実部だけ。偶関数なので虚部は出ません。虚部が出るのは奇関数である正弦関数のほうです

フーリエ変換の性質

性質は4つ押さえれば足ります。

1. 線形変換である

$$a f(x)+b g(x)\ \longrightarrow\ a F(u)+b G(u)$$

定数倍も足し算も、そのまま通ります。$2f(x)$ の変換は $2F(u)$ であって、$\frac{1}{2}F(u)$ ではありません。

2. 平行移動しても絶対値は変わらない

$f(x)$ と $f(x-a)$ のフーリエ変換は、絶対値（振幅スペクトル）が同じです。変わるのは位相だけです。

3. 実空間の畳み込み ＝ 周波数空間の掛け算

$$f(x)*g(x)\ \longrightarrow\ F(u)\times G(u)$$

これが畳み込み定理で、画像処理の土台です。実空間でフィルタをかける操作（重畳積分）は、周波数空間では単純な掛け算になります。だから周波数空間での処理は速いのです。

なお、和のフーリエ変換は和（$F+G$）です。「$f(x)+g(x)$ のフーリエ変換は $F(u)\cdot G(u)$」という選択肢は誤りで、積になるのは畳み込みのほうです。

4. 横に縮めると、周波数側は広がる

$f(2x)$ の変換は $\frac{1}{2}F(u/2)$ です。$F(2u)$ ではありません。実空間で縮めたぶん、周波数は高いほうへ伸びます。

また、「$f(x)$ の面積と $F(u)$ の面積は等しい」も誤りです。正しくは $f(x)$ の面積 ＝ $F(0)$、$F(u)$ の面積 ＝ $f(0)$ という関係です。

空間フィルタは「重ねて、掛けて、全部足す」

空間フィルタ（重畳積分・畳み込み）の計算は、手順としては単純です。

1. 注目画素を中心に 3×3 を切り出す
2. フィルタの同じ位置どうしを掛ける
3. 9個すべてを足す

図の例では、フィルタが 0 の場所が4つあるので、実際に効くのは四隅と中心の5か所だけです。

$$(-1)(3)+(-1)(4)+(5)(6)+(-1)(5)+(-1)(1)=30-13=17$$

計算問題では、注目画素が端にあるかどうかを最初に確認してください。5×5 の中央（i＝3, j＝3）であれば、はみ出しの処理を考えずに済みます。

もうひとつ、メディアンフィルタだけは掛け算をしません。範囲内の画素値を小さい順に並べて、ちょうど真ん中の値を採るフィルタです。平均ではありません。9個なら5番目の値です。

係数の和で仕分ける

フィルタの種類を見分ける、いちばん速い方法がこれです。

• 係数の和 ＝ 1 → 平滑化。全体の明るさが変わらない。移動平均、加重平均、ガウシアン
• 係数の和 ＝ 0 → 微分（エッジ検出）。平らな部分の出力が 0 になる。ソーベル、プレヴィット、ラプラシアン

なぜこうなるのか。一様な面（どの画素も同じ値 $v$）にフィルタをかけると、出力は $v \times (\text{係数の和})$ になります。和が 1 なら $v$ のまま、和が 0 なら 0 です。つまり和が 0 のフィルタは、変化のないところを消すわけで、これがまさに微分のふるまいです。

図の下段は、台形の信号に 1次元フィルタ $(-1, 1, 0)$ をかけた結果です。

• 平らな部分はすべて 0
• 立ち上がりでは負、立ち下がりでは正と、符号が逆になる

「変化しているところだけを取り出し、変化の向きを符号で表す」という、微分そのものの性質が見てとれます。

微分の次数も問われます。ソーベル・プレヴィットは1次微分で、傾きの大きさと向きが得られます。ラプラシアンは2次微分で、エッジの位置がゼロ交差として現れます。

フィルタ早見表：実空間と周波数空間

フィルタは「どこで使うか」と「何をするか」の2軸で整理すると混乱しません。

実空間で使うフィルタは重畳積分（畳み込み）で処理します。平滑化（移動平均・加重平均・ガウシアン）、非線形のメディアン、微分系（ソーベル・プレヴィット・ラプラシアン）、鮮鋭化のアンシャープマスキング（ボケマスク処理）です。

周波数空間で使うフィルタは掛け算で処理します。核医学でよく出るのがここです。

• バターワースフィルタ … ローパス（平滑化）。遮断周波数と次数の2つのパラメータで、なだらかさを調整します。ハイパスではありません
• ガウシアン・ハニング … 同じくローパス
• ramp フィルタ … 高周波ほど強調する特性。単純逆投影で生じる $1/r$ のボケを打ち消すために使い、これがフィルタ補正逆投影法（FBP）です。ただし高周波を強調するのでノイズも増えるため、実際にはバターワースなどのローパスと組み合わせます
• ウィーナーフィルタ … ノイズを考慮した復元フィルタ

まぎらわしいのが、繰り返し数（iteration）とサブセット数です。これは OSEM などの逐次近似法のパラメータで、ウィーナーフィルタとは無関係です。

ヒストグラムから分かること・分からないこと

ヒストグラムは「どの画素値が何個あったか」の集計です。ここで決定的なのは、画素がどこにあったかという情報が、完全に捨てられていることです。

図の2枚の画像は、まったく同じ画素値の集まりを、並べ替えただけのものです。見た目はまるで違いますが、ヒストグラムは完全に一致します。

したがって、

• 求められる … 期待値（平均）、分散・標準偏差、歪度・尖度、中央値。どれも画素値の統計です
• 求められない … 鮮鋭度、MTF、ノイズの空間周波数特性。どれも隣の画素との関係、つまり位置の情報が要ります

試験で問われやすいポイント

論点	覚える形
フーリエ変換の向き	実空間 → 周波数領域。戻すのが逆変換
線形性	線形変換。$2f(x) \to 2F(u)$
核関数	$\cos(2\pi ux) - i\sin(2\pi ux)$。$i$ が付き、符号はマイナス
変換ペア	矩形波 → sinc、デルタ → 定数、余弦 → 実部だけ
平行移動	絶対値は不変。変わるのは位相だけ
畳み込み定理	実空間の畳み込み ＝ 周波数空間の掛け算
和の変換	和は和。積になるのは畳み込み
縮小	$f(2x) \to \frac{1}{2}F(u/2)$。$F(2u)$ ではない
面積	$f(x)$ の面積 ＝ $F(0)$、$F(u)$ の面積 ＝ $f(0)$
空間フィルタの計算	同じ位置どうしを掛けて9個すべて足す
メディアン	並べ替えて真ん中。平均ではない
係数の和 ＝ 1	平滑化
係数の和 ＝ 0	微分・エッジ検出
1次微分	ソーベル・プレヴィット
2次微分	ラプラシアン
バターワース	周波数空間のローパス
ramp	高周波強調。FBP のボケ取り。ノイズも増える
繰り返し数・サブセット数	OSEM のパラメータ
ヒストグラム	位置の情報が残らない。鮮鋭度は出せない

まとめ

• フーリエ変換は実空間から周波数空間への線形変換。離散フーリエ変換も同じ向き
• 核関数は $\cos(2\pi ux) - i\sin(2\pi ux)$。$\sin$ に $i$ が付き、符号はマイナス
• 変換ペアは矩形波 ⇄ sinc、デルタ ⇄ 定数、余弦 ⇄ 実部だけ
• 平行移動しても絶対値は不変。変わるのは位相だけ
• 実空間の畳み込み ＝ 周波数空間の掛け算。これが画像処理の土台
• 空間フィルタは同じ位置どうしを掛けて全部足す。メディアンだけは並べ替えて真ん中
• 係数の和が 1 なら平滑化、0 なら微分。これでほとんど仕分けできる
• バターワースはローパス。ramp は高周波強調でノイズも増えるためローパスと併用する
• ヒストグラムは位置の情報を捨てているので、鮮鋭度や MTF は求められない

次は、ここまでとは毛色が変わります。人が画像を見て診断できたかどうかを測る指標、ROC 解析です。

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