k空間の基礎 — MRIの画像はどう作られるか

MRIは、対象を直接「写真」のように撮っているわけではありません。受信した信号をいったん k空間 というデータ空間に並べ、逆フーリエ変換して画像にします。この仕組みは画質・分解能・高速撮像のすべての土台になります。

k空間とは

k空間は、画像を 空間周波数 で表したデータ空間（フーリエ空間）です。実空間の画像が「位置ごとの明るさ」を表すのに対し、k空間は 空間周波数（単位：1/m）の成分 を表します。

• 横軸 $k_x$・縦軸 $k_y$ をもつ 2次元のデータ。
• MRIでは、$k_x$ が 周波数エンコード方向、$k_y$ が 位相エンコード方向 に対応します。
• k空間の1点1点が、画像全体に広がる「ある細かさの縞模様」の強さを表します。

k空間と画像の関係（フーリエ変換）

画像とk空間は、フーリエ変換と逆フーリエ変換で行き来できる、表と裏の関係です。

MRIで実際に受信して集めるのは k空間のデータです。それを 逆フーリエ変換 して画像を作る、これが「再構成」です。

中心と周辺の役割

k空間は、場所によって担う役割が違います。

• 中心：低い空間周波数。信号の大部分が集まり、全体のコントラストや大まかな形を決める（SNRへの寄与も大きい）。
• 周辺：高い空間周波数。細かい構造や輪郭（分解能）を決める。

イメージとしては、中心だけで再構成すると「ぼんやりした濃淡」、周辺だけだと「輪郭線」のような画像になります。

k空間の埋め方

k空間は、位相エンコードを1ステップ変えるごとに1行（1ライン） ずつ埋めていきます。

• 位相エンコードの 行数が多いほど、撮像時間は長くなり、分解能は高くなります。
• 中心から先に埋める（センタリック）など、目的に応じた充填順の工夫もあります。

広さ・間隔と画像の関係（重要）

k空間の「広がり」と「サンプリング間隔」が、画像の分解能とFOVを決めます。

k空間の性質	対応する画像の性質
広がり（最大の空間周波数 $k_{max}$）が大きい	分解能が高い（細かく描ける）
サンプリング間隔（$\Delta k$）が狭い	FOVが大きい（間隔が広いと折り返し）

つまり「k空間を広く・細かく測るほど、高分解能で広いFOVになる（＝データ量が増え、時間もかかる）」という関係です。

部分フーリエ（ハーフフーリエ）

k空間は理論上、中心を挟んでほぼ対称（共役対称）です。この性質を使い、k空間の半分強だけを測って残りを推定すれば、撮像を短縮できます（部分フーリエ／ハーフフーリエ）。そのぶん SNRは低下します。

試験で問われやすいポイント

• 画像は k空間を逆フーリエ変換 して作られる（再構成）。
• k空間の 中心＝コントラスト、周辺＝分解能。
• $k_{max}$（広がり）が 分解能、$\Delta k$（間隔）が FOV に対応する。
• 部分フーリエは対称性を利用して高速化するが、SNRは下がる。

まとめ

• MRIの画像は k空間 → 逆フーリエ変換 で作られる。集めるのはk空間のデータ。
• 中心＝コントラスト、周辺＝分解能。広さは分解能、間隔はFOVに対応。
• 充填の行数や対称性の利用が、撮像時間や画質に直結する。

※ 複数コイルで撮像を速くする パラレルイメージング（SENSE・GRAPPA） は、別記事「パラレルイメージング（SENSE・GRAPPA）の基礎」で扱います。