原子核と放射性壊変（壊変形式・半減期・放射平衡）

放射性核種は、不安定な原子核がより安定な形へ変わろうとして放射線を出す性質を持っています。この記事では、その変わり方（壊変形式）と、どれくらいの速さで減るか（半減期）、そして核医学の現場を支える放射平衡までを整理します。

前の2本（光子と物質の相互作用、荷電粒子と中性子）は「放射線が物質に当たったあと」の話でした。今回は放射線が生まれる側の話です。

原子核の基本：質量数と原子番号

原子核は陽子と中性子でできています。

• 原子番号 Z … 陽子の数。元素の種類を決める
• 質量数 A … 陽子＋中性子の数（核子の総数）

原子核の半径は、核子がぎっしり詰まった球として次の経験式で表されます。

$R = r_0 A^{1/3} \qquad (r_0 \fallingdotseq 1.2\ \text{fm})$

この式から、国家試験で問われる性質が導けます。

量	質量数Aとの関係
体積	$R^3 \propto A$ → 質量数に比例
半径	$A^{1/3}$ に比例（比例ではない）
密度	質量÷体積 $\propto A/A$ → 一定（どの原子核もほぼ同じ）
中性子過剰数	重い核ほど増える（非線形）
核子1個あたりの結合エネルギー	質量数60付近（鉄）で最大の山型

壊変形式：原子番号と質量数がどう変わるか

不安定な原子核が安定を目指して変化することを壊変（崩壊）といいます。5つの形式があり、それぞれ原子番号Zと質量数Aの変化の仕方が違います。

理屈で追うと、丸暗記しなくても導けます。

• α壊変 … ヘリウム原子核（陽子2＋中性子2）が丸ごと飛び出す → Z−2、A−4
• β⁻壊変 … 核内で中性子が陽子に変わり、電子が飛び出す → 陽子が1個増えるのでZ＋1。核子の総数は変わらないのでAは不変
• β⁺壊変 … 核内で陽子が中性子に変わり、陽電子が飛び出す → Z−1、Aは不変
• 軌道電子捕獲（EC） … 核が軌道電子を取り込んで陽子を中性子に変える → β⁺と同じ結果でZ−1、Aは不変
• γ壊変 … 励起状態の核が余分なエネルギーを電磁波で捨てるだけ。陽子も中性子も出入りしない → ZもAも不変

半減期：どれくらいの速さで減るか

放射性核種の数は、指数関数で減っていきます。もとの半分になるまでの時間が半減期 $T$ です。

$A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} = A_0 e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T}$

$\lambda$ は壊変定数で、「1個の原子核が1秒あたりに壊れる確率」を表します。

有効半減期：体の中では2つの理由で減る

体内に入った放射性医薬品は、2つの理由で減っていきます。

• 物理的半減期 $T_p$ … 核が壊変して減る
• 生物学的半減期 $T_b$ … 代謝・排泄で体外へ出て減る

実際に体内で減る速さが有効半減期 $T_{\text{eff}}$ です。「速さ（半減期の逆数）」を足し合わせると考えると導けます。

$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_p} + \frac{1}{T_b} \quad\Rightarrow\quad T_{\text{eff}} = \frac{T_p \cdot T_b}{T_p + T_b}$

2つの減り方が重なるので、有効半減期は物理的・生物学的のどちらよりも必ず短くなります。

放射平衡：親から娘が生まれ続ける

親核種が壊変して娘核種になり、その娘核種も放射性という場合があります。このとき、時間がたつと親と娘の放射能の比が一定になります。これが放射平衡です。

成立する条件は、親の半減期が娘より長いことです（逆だと親が先になくなってしまいます）。

放射平衡には2種類あります。

• 過渡平衡 … 親の半減期が娘よりやや長いとき。娘は親の減り方に沿って減る。Mo-99 → Tc-99m（66時間 → 6時間）が代表例
• 永続平衡 … 親の半減期が娘より極端に長いとき。親がほとんど減らないので、娘の放射能は一定に保たれる

この過渡平衡を利用したのが、核医学で使う ⁹⁹Mo/^99mTc ジェネレータです。半減期6時間の^99mTcは作り置きできませんが、半減期66時間の⁹⁹Moを置いておけば、必要なときに娘の^99mTcを取り出せます（ミルキング）。取り出したあとも親から娘が生まれ続けるので、しばらくするとまた使えるようになります。

まとめ

• 原子核の半径は $A^{1/3}$ に比例。だから体積は質量数に比例し、密度はどの核でもほぼ一定
• 質量数が変わるのはα壊変だけ（Z−2、A−4）。他はすべてA不変
• β⁻はZ＋1（中性子→陽子）、β⁺とECはZ−1（陽子→中性子）、γ壊変はZもAも不変
• 放射能は指数関数で減り、半減期ごとに半分。ゼロにはならない
• 有効半減期 = Tp·Tb／(Tp＋Tb)。逆数の足し算なので、どちらよりも短くなる
• 放射平衡は親と娘の放射能の比が一定になる状態。成立条件は親の半減期が娘より長いこと。両方とも減り続けている
• 過渡平衡の実用例が ⁹⁹Mo/^99mTc ジェネレータ

過去問での問われ方は、過去問解説の記事一覧や国家試験まとめから確認できます。